PARADOKS

	Sign In Sign-Up

PARADOKS NEDİR?

Binlerce yıllık geçmişi olan paradokslar, insanların kafasını devamlı meşgul etmiştir. Aslinda dogru gibi görülen bir önerme veya fikir, tamamen yanlis olarak çikar karsimiza. Tam tersi de mümkündür; yillarca yanlis zannettigimiz olaylarin, fikirlerin, hesaplamalarin, dogru oldugunu görmek, bizi saskinliga ve hayrete düsürür. ileride bolca misal verecegimiz paradokslarin, yapilmis birkaç tanimini aktaralim:

'Çok mantiksiz görünen, aslinda çok mantikli bir değiş'

'iki dogrunun veya yanlisin çeliskisi'

'Soyut muhakemenin sona erdigi tezat'

'Kagit-kalem veya mantik ilüzyonu' (Galiba en güzel tanim bu!)

Paradokslar ilginçtir, eglencelidir, ögreticidir, sasirticidir, zihni açar...
Tarihte bilinen ilk paradoks örneklerini Epimenides vermistir. Giritli olan Epimenides:

-'Bütün giritliler yalancidir!' diyerek bizi çeliskiye götürür. söyle ki :

Eger gerçekten giritliler yalanci ise kendisi de giritli olduguna göre o da yalancidir. Yani söyledikleri yalandir(mesela yukaridaki cümlesi). Bu cümle yalan olduguna göre dogrusu su olmali:

-'Bütün giritliler dogrucudur, dogru söyler.'
O halde söyledigi dogrudur. Yani 'bütün giritliler yalancidir......'

Örnekler:

'Bu cümleyi okumayin!'

Yukaridaki cümleyi okudugunuza göre paradoksa ugramis oldunuz.

' Tek kelime dahi türkçe bilmiyorum!'

- Beni duyabiliyor musun?
- Hayir. Sesin gelmiyor (!)

- Niçin her soruma soru ile cevap veriyorsun?
- Niçin vermeyeyim ki !?

Memleketimizde bazi yer adlari, kendisi ile çelisir:
Bakirköy: Adi "köy" olmasina ragmen ilçedir. Hem de yaklasik 50 vilayetten bile büyük bir ilçe.
Viransehir: "sehir" degil, s.urfa'nin bir ilçesidir.
Kusadasi: "Ada" degildir.
Denizli: Denizli'de deniz yoktur.
Elmadag, Kadifekale, Akdeniz, Gümüshane...vs.

-"Söyledigin hersey dogru mu?"
-"Hayir!"

Bu adam güvenilir biri midir? Önce fikir yürütelim:
"Hayir" dedigine göre arada bir yanlis(yalan) söylüyor demektir. Arada bir yanlis konusuyorsa "hayir" dedigi de yanlis veya yalan olabilir. O zaman "hayir", "evet" olur. Bu sefer de "evet" diyorsa, her söyledigi dogru oldugundan "hayir" da dogrudur... iyisi mi bu adama pek itimat etmeyelim...

Bir otobüs ilani:
-"Okuma-yazma ögrenmek isteyenlere müjde! Hemen asagidaki adrese basvurun..."
Okuma-yazma bilmeyen bir insan nasil bu ilani okuyacak! Okusa zaten o adrese basvurmasi gerekmez...

Bir adam, saçlari döküldügü için doktora gider. doktor, teshisi koyar: Stres!
Ama adam saçlari döküldügü için strese girmektedir. Strese girdikçe daha da fazla dökülmektedir. Daha da fazla döküldükçe de, stresi ayni hizla artmaktadir...

Ben her zaman yalan söylerim. EMRE TURUNCU'dan

BU CÜMLEDEKi HARF SAYISI OTUZYEDi DE?iLDiR. (37 Harf var)

Alaaddin'in sihirli lambasindan çikan cini herkes bilir. Cin diyor ki:
-Dile benden ne dilersen. Unutma ki sadece 'bir' dilek hakkin var ve mutlaka yerine gelecek.
Siz olsaniz ne isterdiniz? Alaaddin öyle bir istekte bulunuyor ki cin ne yapacagini sasiriyor:
-Benim tüm dileklerimi yerine getir!

SOCRATES'ten:

"Bildigim tek sey var; o da hiç bir sey bilmedigim."

Bazi hayvan isimleri, insanlar için sifat olarak kullanildiklarinda iltifat kabul edilir:
Aslanim benim!
Koç gibi masallah!
Tilki gibisin abi!

Bazi hayvan isimleri ise hakaret anlamina gelir:
Çok inek bir arkadas!
Ayi misin be birader! (Ayi, bazi ülkelerde iltifattir)
Öküz öküz bakma!

Sonuçta hayvan, hayvandir:)

PARADOKSLAR

(KISIR DÖNGÜ)

Paradoks (Kısır Döngü) Nedir?

Bir sorunun cevabına ne doğru ne de yanlış diyemiyorsak bir Paradoks ile karşı karşıyayız demektir. Nicolas Baurbaki bu konuda;

"Ünlü paradokslar, on yıllar bazen de yüzyıllar boyunca mantıksal düşünceyi beslemiştir."

"Bu sayfada yazılı olan hiçbir şeyi okumayın." gibi buna benzer paradokslar ya kendileriyle çelişiyor gibi görünür, anlamsız ya da şaşırtıcı sonuçlara varır; ya da kısır döngü biçimindedir.

Paradokslar yüzyıllar boyunca insanları büyülemiş ve hayrete düşürmüştür. Paradokslara, Edebiyat, bilim ve Matematik'ten günlük yaşama kadar çok değişik alanlarda rastlanır. Ne tür paradoks olursa olsun ortaya çıkan sorular ve karışıklık hem ilginç, hem de eğlendiricidir. Özellikle Matematiksel paradokslar yeni buluşlara yol açabilir.

Paradoks Örnekleri

Bazı bilinen paradokslardan örneklere bakalım:

1) İkiye Bölme Paradoksu: Bir yolcu, belirli bir uzaklığa gidecektir. Önce gideceği yolun yarısını; sonra kalan yarısını; sonra kalanının yarısını;... yürümek zorundadır. Bu durumda hiçbir zaman gideceği yolun sonuna ulaşamayacaktır.

2) Euqlides Paradoksu: "Yaptığım açıklama yanlıştır."

3) Avukat Paradoksu: Yunanlı ünlü avukat Protogras, verdiği özel dersin ücreti ile ilgili olarak öğrencisiyle bir anlaşma yapar. Bu anlaşmaya göre öğrencisi aldığı ilk davayı kazanırsa bu ücreti avukata ödeyecek, kazanamazsa ödemeyecektir.

Dersin bitiminden hemen sonra herhangi bir dava almayan öğrenciden ses seda çıkmaz. Sabrını yitiren avukat, bir dava açarak bu ücreti öğrencisinden talep eder. Yeni avukat olan öğrenci bu ilk davasında kendini savunmayı üstlenir.

Bu davayı öğrenci kazanırsa ilk davasını kazanmış olacağı için davayı kaybeden hocasına parayı ödemek zorunda kalacaktır.

Tersine davayı kaybederse bu kez de davayı kaybettiği için hocasına yine ödeme yapmak zorunda kalacaktır.

4) Epimenides Paradoksu: Epimenides Giritli idi. Ve paradoksu şöyleydi; "Bütün Giritliler yalancıdır".

5) Walt Kelley Paradoksu: "Düşmanla karşılaştık ve o biziz".

6) Berber Paradoksu: Bu paradoks 1918'de çıkmıştır. Bir köyde, bir berber, kendi traş olmayan herkesi traş eder. Berberi kim traş edecek?

7) Oscar Wilde Paradoksu: "Günah işlemenin tek yolu onu kabul etmektir".

8) Don Kişot Paradoksu: Sanço Panço, Baratania adasının yöneticisidir. Adaya gelenler niye geldiklerini belirtmek zorundadır. Eğer doğruyu söylerlerse serbest kalacaklar, yalan söylerlerse asılacaklardır. Günün birinde bir yolcu gelir ve "Ben asılmak için buradayım". der. Sanço ne yapmalı?

9) Sonsuzlukla ilgili Paradoks: Doğal sayılar kümesi ve Doğal sayıların karelerinin kümesi bir bir eşlenebilir. Bu kümelerin eleman sayıları nasıl birbirine eşit olabilir?

10) Russell Paradoksu: Bertrand Russell'ın paradoksu küme üyeliğine ilişkindir. Bir küme ya kendisinin bir üyesidir, ya da değildir. Kendisinin bir üyesi olmayan kümelere "düzenli" diyelim. Örneğin, "İnsanların kümesi"nin kendisi, bir insan olmadığı için, nkendisinin bir üyesi değildir. Kendisini içeren kümeleri "düzensiz" olarak adlandıralım. Örneğin "beş elemandan fazla elemanı olan kümelerin kümesi" düzenli midir yoksa düzensiz midir? Eğer düzenliyse; kendinin bir üyesi olamaz. Tüm düzenli kümeleri içerdiğine göre ve kendisinin de düzenli olduğunu kabul ettiğimiz için, kendisini içermelidir. Ama eğer kendisini içeriyorsa, tanıma göre düzensizdir. Düzenli olduğunu varsayıp, düzensiz olduğu çelişkili sonucuna vardık. Diğer taraftan, eğer düzensiz ise, kendisini elemanı olarak içerir. Ama elemanlarının sadece düzenli kümeler olduğunu biliyoruz. Demek ki düzensiz ise düzenli olduğu sonucu ortaya çıkıyor. Russell Paradoksu, Alman Matematikçi Gottlob Frege'e büyük bir darbe indirmiştir. Frege, bu paradoksu öğrendiğinde, aritmetiğin mantıksal gelişimi hakkındaki kitabının ikinci cildini yeni bitirmişti. II.cildin ek bölümü şöyle başlar: "Bir bilim insanı için en üzücü olay, yapıtı tam bitmişken temellerinin çökmesidir. Bertrand Russell'ın bana gönderdiği mektup sonucunda, bu duruma düştüm..."
TARiHi PARADOKSLAR

Her alanda oldugu gibi tarihte de çok sayida paradoksal olay olmustur.

Fatih Sultan Mehmet'ten:

Bilindigi gibi Fatih, genç yasta padisah olmustur. Yasi gençtir ama zekasi ve inançlari çok kuvvetlidir. Yeni sultan oldugu yillardir. Birgün bir sefere gidilecekken ordunun basinda babasinin olmasini ister. Ancak babasi bu teklifi kabul etmez. Fatih'in maksadi babasinin ilminden ve tecrübesinden yararlanmaktir.

-"Eger sen padisahsan geç ordunun basina. Yok eger ben padisahsam emrediyorum ordunun basina geçeceksin!"

Babasi Sultan Murat, baska çare bulamaz ve orduya komutanlik yapar.

Osman Yüksel Serdengeçti'den:

Osma Yüksel'in milletvekili oldugu yillardir. Birgün meclis kürsüsünde kendisine laf atan vekillere dayanamaz ve:

-"Bu meclistekilerin yarisi esektir!" der ve iner kürsüden.

Bunun üzerine meclis karisir ve herkes kendisinden sözünü geri almasini ister. Arkadaslarinin da ricasi ile tekrar kürsüye çikar ve zekasini gösteren ve vekilleri rahatlatan su sözleri söyler:

-"Bu meclistekilerin yarisi esek degildir!"

Kant'tan:

Ünlü Alman egitimci Emmanuel Kant'in bir sözü:

-"Her ne kadar ben inanmasam da bir tanrinin var oldugunu kabul etmek gerekir."

Yasanmis bir olay:

1974'teki Kibris çikarmasina katilan bir asker anlatiyor:

"Çok siddetli bir taarruz vardi. Mermiler kulagimizin dibinden geçiyordu. Siperde daha önce hiç görmedigim bir asker yanima yaklasti. Belli ki bizim birlikten degildi. Bir zarf çikardi ve:
-"Memlekete dönünce bu zarfi, üzerindeki adrese birakir misin?"
-"Ikimiz de döneriz insallah" dedim.

Israrla kendisinin dönemeyecegini, benim ise memleketime ve aileme kavusacagimi söylüyordu. Biraz isteksiz de olsa zarfi aldim. Ancak o çatisma sirasinda birbirimizi kaybettik. Taarruz bitip memlekete döndügümden bir-iki yil sonra eski esyalari karistirirken o zarfi buldum. Unuttugum görevi, geç te olsa yerine getirmek için Istanbul'a gittim. Üzerindeki adres, Aksaray'da eski bir eve götürdü beni. Kapiyi yasli bir amca açti.

-"Merhaba amca. Ben Kibris'ta savasan oglunuzdan bir mektup getirdim. Belki kendisi de gelmistir."
-"Bizim Kibris'ta savasan bir oglumuz yoktu"

Beni içeri davet ettiler. Esi, bir fotograf albümü ile geldi. Fotograflari gösterip:

-"Sana zarfi bu genç mi verdi?"
-"Evet. Çok iyi hatirliyorum. Buydu." ve iste o an beni sok eden ve hala aklimi basimdan alan su cevabi verdi:

-"Bu çocuk benim oglumdu. Fakat onu 15 sene önce Kore harbinde sehit verdik..." "

Yunus Emre'den:

"Ete kemige büründüm
Yunus diye göründüm"

"Bir ben vardir bende, benden içeru"

"Yedi kere dolup bosalan dünya degil misin?"

Kanuni Sultan Süleyman'dan:

Süleymaniye Camiinin insaasi sirasinda bir ermeni usta, yanlis duvar yapmasi sonucu, Kanuni tarafindan cezalandirilir. Ermeni usta, sultandan sikayetçi olur. Kadi, ikisini de huzuruna çagirir. Kanuni ve usta, kadinin karsisinda ayakta beklemektedirler. Karar açiklanir: "Kisas!" yani Kanuni de ayni sekilde cezalandirilacaktir. Ermeni usta, adalete hayret eder ve:
-"Madem dininiz bu kadar adil, hem davamdan vazgeçiyorum hem de müslüman oluyorum"

Davadan sonra Kanuni, kadiya:
-"Eger ben padisahim diye benim lehimde bir karar verseydin, seni bu kilicimla öldürürdüm"

Kadi, oturdugu minderin altindan bir hançer çikarir ve :
-"Sultanim siz de eger 'ben padisahim' diye kararima itiraz etseydiniz ben de bu hançeri sizin kalbinize saplardim..."

Bir Dervis:

Garip dervisin biri büyük bir köskün önünden geçerken evin 'av meraklisi ve zalim' olan beyi, yardimcilari ile ava gitmek için evden çikiyorlardir. Dervisle selamlasirlar. Aksilik bu ya o gün hiç birsey vuramadan dönerler. Bey çok sinirlidir:

-"Sabah ava giderken karsilastigimiz o dervisi bulun çabuk! Onun yüzünden islerim ters gitti. Ugursuzu getirin bana!"
Yardimcilari hemen dervisi bulup beyin huzuruna çikarirlar. Bey kükrer:

-"Bre ugursuz adam! Senin yüzünden elimiz bos geldik! Hiçbir sey vuramadik! Tiz vurun kellesini!"

Dervis, beye söyle der:
-"Beyim sabah selamlastik. Siz hiçbir sey vuramadiniz. Ben ise kellemi kaybediyorum. Siz söyleyin, hangimiz daha ugursuzuz?"

Kanuni Sultan Süleyman'dan:

Kanuni, sehzadelerini muhtesem bir törenle sünnet ettirir. Kisa bir süre sonra da veziri Ibrahim Pasa'nin oglu sünnet olur. Törene Kanuni de davetlidir. Birara Kanuni, vezirine der ki:

-"Söyle bakalim Ibrahim Pasa. Senin tören mi daha muhtesem, benimki mi?"
-"Elbette benimki sultanim"

Kanuni sasirir. Sebebini sorar. Vezir:
-"Benim oglanin dügününe koskoca cihan padisahi davetliydi ve geldi. Sizinkinde böyle bir davetli var miydi?" der.

FiZiK PARADOKSLARI

Olbers Paradoksu

Bu paradoks, biraz da asrtronomi ile ilgili.

Olbers, arastirmalari neticesinde, su fikirlere vardi:

a) Kâinatin (uzayin), baslangici ve sonu yoktur.
b) Kâinatin bir siniri yoktur.
c) Kâinattaki yildizlar, düzenli bir sekilde dagilmistir.
d) Kâinatin büyüklügü sabittir.
e) Diger yildizlardan gelen isigi engelleyici bir faktör yoktur.

Bütün bunlara dayanarak, Olbers'e göre gece gökyüzünün çok parlak olmasi gerekir. Çünkü sonsuz adet isik kaynagi yani yildiz mevcuttur. Gece, karanlik olduguna göre yanlis olan birseyler var. Yapilan arastirmalar, kâinatin bir baslangici oldugunu ispatlamistir. Kâinatin saniyede 60 bin km. hizla genisledigi de ilmî bir gerçektir. Yildizlardan gelen isigi engelleyen bir faktör mevcut olsa idi, bu faktörün isinmasi ve daha sonra da isik kaynagina dönüsmesi gerekirdi. O halde gökyüzü gece parlak degilse bunun birkaç sebebi vardir:

a) Kâinatin mutlaka bir baslangici vardir.
b) Kâinatin büyüklügü sabit degildir. Yani genisliyor.
c) Yildiz sayisi sinirlidir.
d) Yildizlar kâinatta düzenli olarak dagilmamistir.

Aristodan:

Kabul edelim ki esit agirlikta ve özellikte iki cismi belli bir yükseklikten attigimizda ikisi de ayni zamanda yere düser. Simdi bu iki cismi birbirine baglayip tekrar atalim. Aristo'ya göre bu cisimler daha hizli düsmelidir. Çünkü artik agirliklarin iki kati olan tek bir nesne olmuslardir. Ya da olayi bir de söyle düsünelim:
Agirliklari A ve a olan iki cisim düsünelim. Aristo'ya göre daha agir olan A, daha hizli düser. Hizlarina da B ve b diyelim. Bu iki cismi birbirine bagladigimizda, A, a'yi kendine yani asagi dogru çekecek; a da A'yi yukari dogru çekecektir. Bu cisimler, yere B ve b arasinda bir hizla yere düsmelidir. Ama Aristo der ki:

-" Cisimleri birbirine bagladigimizda agir olandan daha agir bir cisim elde etmis oluruz. O halde A'dan daha hizli düsmeliler."

Amperler:

Üç fazli dagitimda, 2 amper ile 2 amper, dört amper etmez. Yani üçgen baglama motorda:

2 amp + 2 amp = 3.4641 amp olur.

Ikizler:

Fizikte en önemli paradokslardan biride ikizler paradoksudur.

Buna göre ikiz olan kardeslerden biri isik hizi ile uzaya firlatilsa ve 50 sene sonra dünyaya tekrar gelse dünyada kalan ikizin yasi "x+50", uzaydan gelenin yasi ise "x+50>gelen" olacaktir. Yani biri yasli biri genç ama bir çok bilim çevresi zamanda böyle bir yolculugun isik hizina dahi çikilsa mümkün olmayacagini iddia eder. Çünkü eger böyle olsa idi isik sürekli geçmise yol alir. Evrende sürekli yer degistirmeyen isik bütün evreni aydinlatirdi.Fakat atmosferimize çarpan mezonlarin 1sn lik ani, 10 dk gibi geçirdikleri ispatlanmistir"

Akan Su

Bir muslugu biraz açip gözleyelim. Seri halde akan su, asagi dogru indikçe inceliyor. Neden?

Ipucu: Yerçekimi ve hiz

Yagmur

Çok siddetli bir yagmur yagiyor. Gidecegimiz yere islanmadan ulasmak için kosmak iyi bir fikir mi, Yoksa yürümeli miyiz? Süre ve mesafe, islanmayi nasil etkiler?

Ipucu: Meselâ 10 metrelik bir mesafeyi ve 10 dakikalik süreyi ayri ayri düsünün.

MATEMATiK PARADOKSLARI

Dogru Parçasi Paradoksu:

Önce dogru parçasinin tarifini yapalim:
Dogru Parçasi: Baslangici ve sonu olan ve sonsuz adet noktadan olusan dogru. Pekiyi nokta nedir?
Nokta: Kalemin kagida biraktigi en küçük iz veya belirti.Malûmdur ki noktanin boyutu yoktur. O halde dikkat. Paradoks basliyor:

Noktanin boyutu olmadigina göre iki noktanin yanyana gelmesi birsey ifade etmez. 100 nokta veya 1 milyar nokta da yanyana geldiginde herhangi bir sekil olusturmaz.( Çünkü sekil olusturmasi için gerekli olan boyut özelligini saglamiyor) Bu suna benzer ki; sifir ile sifirin toplami yine sifirdir. Milyarlarca sifiri toplasak 'yarim' dahi etmez. O halde dogrunun taniminda bir hata var. Çünkü sonsuz adet noktanin yanyana gelmesi birsey ifade etmez! Noktanin çok çok az da olsa boyutu oldugunu kabul etmemiz gerekir. Bu sefer de noktanin tarifi hatali olur.

Noktayi boyutlu kabul edelim. Karsimiza bir paradoks daha çikar; dogru parçasinda sonsuz adet nokta olduguna göre dogru parçasinin da uzunlugu sonsuz olmalidir. Çünkü çok az da olsa boyutu olan bir seyden sonsuz adedi yanyana gelirse sonsuz uzunluk olur.

2+2=5 ?

X = Y ................................................olsun
X² = X.Y............................................esitligin her iki tarafini 'X' ile çarptik.
X² - Y² = XY - Y²..............................her iki taraftan 'Y²' çikardik.
(X + Y).(X - Y) = Y.( X-Y )...............sol tarafi çarpanlara ayirdik, sag tarafi 'Y' parantezine aldik.
( X + Y ) = Y.....................................( X - Y )'ler sadelesti.
X + X = X..........................................X = Y oldugundan,
2.X = X..............................................'X' leri topladik.
2 = 1 ................................................'X' ler sadelesti.
3 + 2 = 1 + 3....................................her iki tarafa '3' ilâve ettik.
5 = 4..................................................buradan,
5 = 2 + 2.......................................'4'ü, '2+2' seklinde yazdik. HATA NEREDE?

Cantor Paradoksu:

George Cantor'a göre bir kümenin alt kümelerinin eleman sayisi, asil kümeden daha fazladir. Ancak bu kaide, "Bütün kümelerin kümesi" için de geçerli midir?

"Bütün kümelerin kümesi", X olsun. Öyle ise her alt kümesi kendisinin elemanidir. X'in "Alt kümeleri kümesi" de X'in alt kümesidir. Yani:

2ª Ì X (2 üzeri a, alt küme X) dir. Buradan sunu yazabiliriz:

card(2ª) card(a)................1

Çünkü alt kümelerin kardinali asil kümelerden küçüktür veya esittir. Ancak Cantor Teoremine göre:

card(2ª) > card(a)...................2

olmalidir. 1 ve 2 çelismektedir.

Karisim Paradoksu:

Bir fincan sütümüz ve bir fincan da kahvemiz var. Bir kasik sütten aliyoruz ve kahve fincanina döküyoruz. iyice karistirip oradan da bir kasik aliyoruz ve süte döküyoruz. simdi sorumuz geliyor:

Kahvedeki süt mü yoksa sütteki kahve mi daha fazladir?

Cevap sasirtici gelebilir ama karisim oranlari esittir. iste ispati:

Kabul edelim ki karisimimiz homojen olmasin. Meselâ kahveye kattigimiz süt, tamamen dibe çöksün. Kahveden aldigimiz miktar tabi ki sütten aldigimiza esit olacaktir. Veya:

ilk karisimdan sonra kasigimizin yarisi süt, yarisi da kahve olsun. Bu sefer yine sütte yarim kasik kahve, kahvede yarim kasik süt bulunacaktir. Veya:

ilk karisim homojen olsun. Aldigimiz bir kasik karisimin % 90 ini kahve, % 10 unu süt kabul edelim. Sütün % 90 i kahvede kalmistir. Sonuçta eksilen sütün yerini kahve dolduracagindan karisim oranlari esit olur.

Bütün Sayilar Esittir Paradoksu:

a ve b birbirinden farkli herhangi iki tamsayi ve c de bunlarin farki olsun:

a-b=c
(a-b)(a-b)=c.(a-b)..............................her iki tarafi (a-b) ile çarptik.
a²-2ab+b²=ac-bc...............................parantezleri açtik.
a²-2ab+b²-ac=-bc.............................ac yi sol tarafa attik.
a²-2ab-ac=-bc-b²...............................b² yi sag tarafa attik.
a²-ab-ac=ab-bc-b².............................2ab nin birini sag tarafa geçirdik.
a(a-b-c)=b(a-b-c)..............................a ve b parantezine aldik.
a=b....................................................(a-b-c) ler sadelesti. (2+2=5 Paradoksunun benzeri)

Karisik Bir Hesap:

iki çocuk ayri ayri kalem satmaktadirlar. Her ikisinin de 30'ar tane kalemi vardir. Biri, 3 kalemi 10 TL'ye; digeri de 2 kalemi 10 TL'ye vermektedir. ilki 30 kalemden 100 TL, digeri de 150 TL kazanir. ( Toplam 250 TL.) Ertesi gün yine 30'ar kalemle evlerinden çikarlar. Yolda karsilastiklarinda biri digerine der ki:

-"Gel seninle ortak olalim. 60 (30+30) kalemin 5 (2+3) tanesini 20 (10+10)TL'ye satalim. Kazandigimiz parayi da paylasiriz. Basit bir hesapla 60 kalemden 240 TL kazanirlar. Yani:

5 Kalem...............20 TL ise
60 Kalem..............x TL'dir. Buradan;

x=(60.20)/5= 240 TL

Çocuklar, ayri ayri satis yaptiklarinda toplam 250 TL kazaniyorlardi. Beraber sattiklarinda neden 10 TL zarar ettiler?

1 kg = 1 ton ¿?

1 kg = 1000 gr.............(1)
2 kg = 2000 gr.............(2)

(1) ve (2) çarpilirsa:

2 kg = 2.000.000 gr
2 kg = 2.000 kg.............(2.000.000 gr = 2.000 kg)
2 kg = 2 ton..................(2.000 kg = 2 ton). Dolayisi ile,
1 kg = 1 ton

Hempel Paradoksu:

Carl Hempel'e göre "Bütün kuzgunlar siyahtir!"

Bu önermeyi iki sekilde ispatlayabiliriz:

a) Çok sayida kuzgun görüp, hepsinin de siyah oldugunu tesbit ederek,
b) Siyah olmayan seylerin, ayni zamanda kuzgun da olmadigini görerek.

Bilinen su ki çok sayida siyah kuzgun ve yine çok sayida siyah olmayan, ayni zamanda kuzgun da olmayan cisim vardir. Siyah olmayan tüm cisimler incelenmeden bu fikre varamayiz. Kirmizi cisimler için bu uygulama yapilmamissa "bazi kuzgunlar kirmizi " da olabilir. Bu sebeplerden Hempel paradoksu, "Tümevarim" in itibarini sarsmistir.

Arnauld Paradoksu:

Herkes bilir ki;

(Büyük Sayi / Küçük Sayi) ¹ (Küçük Sayi / Büyük Sayi) dir.
(5 / 2) ¹ (2 / 5) gibi

Ancak negatif sayilar bu kurali bozar:
(3 / -3) = (-3 / 3)

Ayrica;

(Büyük Sayi / Küçük Sayi) > 1 dir.
(4 / 3) > 1 gibi

Yine negatif sayilar için kural ihlâl edilir:
(3 / -1) < 1

Bu durum, matematikçi Arnauld'a mantiksiz geldigi için negatif sayilarin olmadigina hükmetti.

Berber Paradoksu:

Klasik paradokslardan biri daha:

Bir berber, bulundugu köydeki erkeklerden, yalnizca kendi kendini tras edemeyen erkekleri tras ediyor. Berberi kim tras edecek?
Kendi kendine tras olsa; kendisini tras edebildigi için tanima ters düsecek. Baskasi tras etse; o kisi kendi kendine de tras olabiliyor demektir. (bkz Russel Paradoksu)

Russel Paradoksu:

1970 yilinda 98 yasinda ölen Bertrand RUSSEL'in çok bilinen paradoksu:

"Bir odada papa ve ben varim. Odada kaç kisiyiz?" Cevap:
"Bir kisiyiz. Çünkü ben, ayni zamanda papayim"

Russel'in "Kümeler" Paradoksu:

Russel'a göre iki çesit küme var:

a) Kendisinin elemani olan(ihtiva eden) kümeler.
b) Kendisinin elemani olmayan kümeler.

Şimdi, "Kendisinin elemani olmayan kümeler"in kümesine 'X' diyelim. X, kendisinin elemani midir?

[ Ana Sayfa ]